计算当地白昼时长

春、秋分时，世界各地昼夜时长相等，都为 12h。由于黄赤交角的存在，太阳直射点在一年中在南北回归线之间移动。地轴可以被理解为地心与北极星的连线，垂直于赤道平面。而地球围绕太阳旋转的黄道平面与赤道平面呈约 23°26＇的角。因此每年的夏至日，太阳直射点落在北回归线（23°26＇N），冬至日则在南回归线（23°26＇S）。

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根据日期或历法计算太阳直射点所在纬度不在本文的讨论范围内。假设我们已知太阳直射点所在纬度，那么可以计算地球上任意一点的昼长。在讨论这个话题时，不妨将地球看作不透光的理想球体，那么，地球上已知纬度的任意一点所在沿纬线的截面圆半径 $r$ 为 $\cos \theta$ ， $θ$ 为当地纬度值，则该截面圆圆心到地心的连线 $l$ 为 $\sin \theta$ 。

好，现在你应该已经有一个理想地球的建模了。现在再来考虑太阳直射点所在纬度，即太阳光线与地心连线交地表所在点的纬度，设为 $ψ$ 。由于地球是不透光的，所以地球的一半为白昼，另一半为黑夜，交线称作“晨昏线”。仍然是黄赤交角，使其切面圆直径与地轴夹角始终为 $ψ$ 。

进行简单的几何运算

$d=l\times \tan ψ$

即可确定关键的角 $α$ ：

$\cos \alpha=\frac{d}{r}$

理想地球和纬度为 θ 的截面圆

用 $\arcsin \frac{d}{r}$ 可解出 $α$ ， $α$ 的作用是确定黑夜占一天的比重。白昼则占：

$\frac{\pi - \alpha}{\pi}$

则当地白昼时长就迎刃而解了：

$T_昼=T\times\frac{\pi - \alpha}{\pi}$

这是由于：

$\begin{aligned} T & =\frac{2 \pi}{\omega} \\ T_{\text {昼 }} & =\frac{2(\pi-\alpha)}{\omega} \end{aligned}$

$T$ 为一个恒星日， $\omega$ 为地球自转的角速度。

我将其写为程序，以下。当纬度在南半球时，输入负值。

from math import *  
  
input_1 = eval(input("输入太阳直射点纬度："))  
input_2 = eval(input("输入当地纬度："))  
  
x, y = radians(input_1), radians(input_2)  
print("x={}, y={}".format(x, y))  
a = 2 * cos(y)  
b = sin(y)  
c = b * tan(x)  
cos_alpha = c / (a / 2)  
"""  
错误算法：  
cos_alpha = (  
(input_2 / 90)   # 纬度不具有长度比例意义  
* tan(x)) / a  
"""  
alpha = acos(cos_alpha)  
print(  
    "cos(alpha)={}, alpha={}, degrees(alpha)={}"  
    .format(cos_alpha, alpha, degrees(alpha))  
)  
h = 24 * (1 - (alpha / pi))  
sunrise = 12 - h / 2  
sunset = 12 + h / 2  
print(
    "h={},sunrise={},sunset={}"  
    .format(h, sunrise, sunset)  
)